平面向量

范文1:平面向量【以文搜文】

理科数学 —《平面向量》核心知识点

1.定义:既有大小又有方向的量.

2.表

示:(1)有向线段(如图1); (2)坐标表示(如图2).

3.模长:表示向量的大小或长度,向量a=(x,y)的模长为|a|=x2+y2.

4.特殊向量

(1)单位向量:模长为1的向量,常用e表示,即|e|=1.

(2)平行(共线)向量:方向相同或相反的向量,记作a//b.

5.运算:设向量a=(x1,y1),b=(x2,y2),则

(1)加法:a+b=(x1+x2,y1+y2); (2)减法:a-b=(x1-x2,y1-y2);

(3)数乘:ma=(mx1,my1)(m∈R);

(4)数量积:称|a||b|cosθ为a与b的数量积,记作a?b,即a?b=|a||b|cosθ.

① θ=<a,b>∈[0,π]为a与b的夹角,如图3;

② |a|=x1+y1,|b|=x2+y2;

③ cosθ=2222a?b,可参考“特殊角三角函数值”求夹角θ; |a||b|

④ 特别地,a?b=|a||b|?cosθ=1?θ=0???a//b, a?b=-|a||b|?cosθ=-1?θ=π?

a?b=0?cosθ=0?θ=

⑤ π2?a⊥b; a//b?x1y2-x2y1=0??(高频考点); a⊥b?x1x2+y1y2=0?

⑥ a2=|a|2?|a|=a2(重要结论).

一、高考试题选编

1.(全国乙卷)设向量a=(x,x+1),b=(1,2),且a⊥b,则x=__________.

2.(全国甲卷)已知向量a=(m,4),b=(3,-2),且a//b,则m=__________.

3.(北京卷)已知向量a=1,,b=(),1),则a与b夹角的大小为________.

????4.(全国丙卷)已知向量= 13

?,= ,1?,则∠ABC=( )

?2,2?? ?22??

A.30?B.45?C.60?D.120?

5.(山东卷)已知向量a=(1,-1),b=(6,-4),若a⊥(ta+b),则实数t的值为________.

6.(全国Ⅱ卷)向量a=(1,-1),b=(-1,2),则(2a+b)?a=( )

A.-1 B.0 C.1 D.2

7.(北京卷)设a,b是非零向量,“a?b=|a||b|”是a//b的( )条件

A.充分而不必要 B.必要而不充分 C.充分必要 D.既不充分也不必要

8.(重庆卷)已知非零向量a,b满足|b|=4|a|,且a⊥(2a+b),则a与b的夹角为( )

A.π

3 B.π

2 C.2π

3 D.5π

6

9.(福建卷)设a=(1,2),b=(1,1),c=a+kb,若b⊥c,则实数k的值为( ) A.-355

2 B.-3 C.3 D.3

2

10.(四川卷)设向量a=(2,4)与向量b=(x,6)共线,则实数x=_______.

11.(全国Ⅱ卷)设向量a,b满足|a+b|=,|a-b|=6,则a?b=( )

A.1 B.2 C.3 D.5

12.(大纲卷)已知a,b为单位向量,其夹角为60?,则(2a-b)?b=( )

A.-1 B.0 C.1 D.2

13.(重庆卷)已知向量a和b的夹角为60?,且a=(-2,-6),|b|=,则a?b=______.

14.(江西卷)已知单位向量e1,e2的夹角为α,且cosα=1

3,若向量a=3e1-2e2,则|a|=

___.

15.(陕西卷)设0<θ<π

2,向量a=(sin2θ,cosθ),b=(1,-cosθ),若a⊥b=0,则atnθ=

_________.

16.(山东卷)已知向量a=1,3,b=(3,m),若a,b的夹角为

A.2 B.0C. D.- ()π6,则实数m=( ) 17.(四川卷)平面向量a=(1,2),b=(4,2),c=ma+b(m∈R),且c与a的夹角等于c与b的夹角,则m=____________.

18.(北京卷)已知向量a=(2,4),b=(-1,1),则2a-b=( )

A.(5,7) B.(5,9) C.(3,7) D.(3,9)

19.(广东卷)已知向量a=(1,2),b=(3,1),则b-a=( )

A.(-2,1) B.(2,-1) C.(2,0) D.(4,3)

20、(全国Ⅰ卷)已知两个单位向量a,b的夹角为60?,c=ta+(1-t)b.若b?c=0,则t=____.

21、(大纲卷)已知向量m=(λ+1,1),n=(λ+2,2),若(m+n)⊥(m-n),则λ=_____.

22、(安徽卷)若非零向量a,b满足|a|=3|b|=|a+2b|,则a与b夹角的余弦值为______.

20.(陕西卷)已知向量a=(1,m),b=(m,2),若a//b,则实数m为_________

21.(新课标卷)已知向量a,b夹角为45?,且|a|=1,|2a-b|=,则|b|=________.

22.(江西卷)设单位向量m=(x,y),b=(2,-1),若m⊥b,则|2x+y|=__________.

23.(安徽卷)设向量a=(1,2m),b=(m+1,1),c=(2,m),若(a+c)⊥b,则|a|=_____.

24.(重庆卷)设x∈R,向量a=(x,1),b=(1,-2),且a⊥b,则|a+b|=________.

?11?28、设向量a=(1,0),b= ,?,则下列结论中正确的是( ) ?22?

A.|a|=|b| B.a?b=2 C.a-b与b垂直 D.a//b 2

29.关于平面向量a,b,c,有下列三个命题:

①若a?b=a?c,则b=c;

②若a=(1,k),b=(-2,6),a//b,则k=-3;

③非零向量a和b满足,则a与a+b的夹角为60?.

其中真命题的序号为__________.

30.若向量|a|=|b|=|a-b|a=(1,1,x),b=(1,2,1),(c-a)?(2b)=-2,则x=______.

c=(1,1,1),满足条件

范文2:平面向量【以文搜文】

平面向量

一 、复习知识点:

1、向量的定义

向量:既有大小,又有方向的量.

a向量表示法:有向线段表示:

数量:只有大小,没有方向的量.

字母表示:AB,a.

向量的模:向量的大小叫做向量的模(向量的长度)记做:|AB|,|a|.

2、相等向量、相反向量,平行向量

探究:如图,在梯形ABCD中,AD∥BC,过A点作

AE∥DC交BC于E点. 1.AD与EC有什么特点?

引出“相等向量”:方向相同且长度相等的两个向量.

(说明:既要考虑方向,又要考虑长度). BC

2.AD与CE有什么特点?

引出“相反向量”:方向相反且长度相等的两个向量.(既要考虑方向,又要考虑长度). 3.AD与BC、AD与CB之间有什么特点?

引出“平行向量”:方向相同或相反的两个向量.(只要方向相同或相反,与长度无关). 归纳和总结:

相等向量、相反向量、平行向量(比较见下图);

1

3、向量加法的三角形法则(首尾相接)

求不平行的两个向量的和向量时,只要把第二个向量与第一个向量首尾相接,那么,以第一个向量的起点为起到,第二个向量的终点为终点,所得的向量即是者两个向量的和向量.

4、零向量

零向量(0):大小为0,方向任意.即:0=0.

说明:零向量是向量,故零向量既有大小,又有方向的量.

5、向量的交换律和结合律

1)

已知a与b,求作:a+

b 如图:c=a+b;d=b+a.

即加法满足交换律.

6、向量的减法三角形法则(同起点): 在平面内取一点,以这个点为公共起点作出这两个向量,那么它们的差向量是以减向量的终点为起点,被减向量的终点为终点的向量.

又:减去一个向量,等于加上这个向量的相反向量.

二例题讲解:

例1下列判断中,不正确的是( ) (A)AB+BA=0; (B)如果AB=CD,则AB=CD;

(C)a+b+c=c+b+a; (D)a+(b+c)=(a+b)+c.

巩固练习

1. 在梯形ABCD中,AD∥BC.写出所有与平行的向量:________________.

2. 在四边形ABCD中,向量AB、BC、CD的和向量是 .

a例2在平行四边形ABCD中,若AD=a,AB=b,则DB= (用和b表示).

巩固练习:

2

1.已知平行四边形ABCD中,设AB=a,AD=b,则用向量a、b表示向量。 BD=__________

2.如上图是4?5的单位正方形网格,则|B|=______________。 例3 已知□

ABCD,点E是 BC边的中点,请回答下列问题: (1

)在图中求作AD与DC的和向量: (2)在图中求作..AD与DC的差向量:AD-

(3)如果把图中线段都画成有向线段,那么在这些有向线段所表示的向量中,所有与.......互为相反向量的向量

(4) 。

B

C

巩固练习:

1.已知:矩形ABCD,对角线AC、BD相交于点O.

(1)利用图中的向量表示:BC+CD=_____________;

(2)利用图中的向量表示:AO-AD=_____________;

(3)如果AB=5,BC=12,则BO=___________.

A

B

D

例4如图,点E、F在平行四边形ABCD的对角线BD上,且EB = DF.

(1)填空:BC+BA=________;+=_________;-=_______.

(2)求作: BC+AF.

B

A

D

例5:已知AD是△ABC的中线,试用AB,AD,AC表示向量BD,DC

C

例6:已知向量a,b,c;求作:(1)a-b+c

3

(2)a-b-c

巩固练习:

1、B,D在□ABCD的对角线上,且有EB=DF中, 设EC=a,EA=b,AD=c,

A

BE

C

F

则:a+b=_______;b+c=_______. 作:a+c.

2、如图:梯形ABCD中,AB//DC,CE//AD,点E在AB上,那么AE+EC+CD+BE=

+BC+CE+AD=__________________. __________________.AB

A三 练习:

DE

CB

1、既有 ,又有 的量叫做向量。向量的大小叫做 。 2、指明了起点的向量称为 ;未指明起点的向量称为 。 3、 的两个向量叫做相等的向量; 的两个向量叫做互为相反的向量; 的两个向量叫做平行向量。

4、 如果将一个向量放在数轴上,它的起点在原点上,终点在2上,那么

(1) 它的模是 ,

(2) 与它同起点的相反的向量,终点在 , (3) 起点在-1,与它相等的向量,终点在 , (4) 终点在5,模为3,与它平行的向量,起点在 。 5、如图,在平行四边形ABCD中,已知AC、BD交于点O,AB=a,AD=b 则=____________=____________。

6、四边形ABCD中,若向量AB与是平行向量,则四边形ABCD是( )

A、平行四边形 B、梯形 C、平行四边形或梯形 D、不是平行四边形,也不是梯形

7、已知平行四边形ABCD,对角线AC和BD相交于点O ,下列等式成立的是( )

4

A、+=+ B、+=-

C、AB-CD=AC+BD D、AB-CD=AC-BD

9若AB是非零向量,则下列等式正确的是( )

AAB=BA B、AB=BA C、AB+BA=0 DAB+BA=0

10 已知a、b是两个非零向量,e是一个单位向量,下列等式中正确的是( ) aaba?e=aeA、=e B、= C、 D、?a=a aab

11在平行四边形ABCD中,若AD=a,AB=b,则DB= (用a和b表

示)

12 如图,梯形ABCD中,AB//CD,点E在AB上,EC//AD,则 。AE+E+CC+D

13.如图,设O是正六边形ABCDEF的中心,则和 相等的向量的个数是 ( ).

A.1个 B.2个 C.3个 D.4个

14.某人向东走3km,又向北走3km,求此人所走路程和位移.

15.求如图所示的单位正方形网格中所标出的向量的模:,,,

5

1 16.在ΔOAB中,延长BA到C,使AC=BA,在OB上取点D,使DB=OB.DC与OA交于E,3

设OA=a,OB=b,用a,b表示向量OC及向量DC.

17.如图,已知AD是ΔABC的中线,AB=a,AC=b,AD=c,用a,b,c表示BD

,CD.

18.如图,已知在平行四边形ABCD中,=,=,用,表示向量

,,,.

19.一个人从A点出发沿东北方向走了100米到达B点,后改变方向沿南偏东15°又走了100米到达C点,求此人从C点走回A点的位移.

6

20.设在平面上给定了一个四边形ABCD,点K,L,M,N分别是边AB,BC,CD,DA的中点,求证: =

21.如图,已知在矩形ABCD中

=43,设AB=

a,BC=b,BD=c.++

21.

+

+的大小关系

课后作业

1.判断下列命题真假

7

(1)平行向量一定方向相同.

(2)共线向量一定相等.

(3)起点不同,但方向相同且模相等的几个向量是相等的向量.

(4))不相等的向量,则一定不平行.

(5)非零向量的单位向量是±a

a.

2.下列各命题中真命题的个数为 ( )

(1)向量的长度与向量的长度相等.

(2)向量与向量平行,则与的方向相同或相反.

(3)两个有共同起点而且相等的向量,其终点必相同.

(4)两个有共同终点的向量,一定是共线向量.

(5)向量与向量是共线向量,则点A,B,C,D必在同一条直线上.

A.2 B.3 C.4 D.5

4.下面有四个命题:

(1)向量的模是一个正实数.

(2)两个向量平行是两个向量相等的必要条件.

(3)若两个单位向量互相平行,则这两个单位向量相等.

(4)温度含有零上温度和零下温度,所以温度是向量,其中真命题的个数为 (

A.0 B.1 C.2 D.3

5.+BC++CA=___________ 6.-+=____________

7.如图:已知向量a,b,c,d,求作:+

-+.

8.在正六边形中,若=,=,试用向量,将,,表示出来.

8 ).

9.如图:在平行四边形ABCD中,M,N分别为DC,BC的中点,已知AM=c,AN=d,试用c,d

表示AB,AD.

10.若向量和是平行向量,

=

12=15,+

11.已知:ABCD是四边形,对角线AC与BD交于O,且AO=OC,DO=OB.

求证:四边形ABCD是平行四边形(用向量方法证明)

12.一辆汽车从A点出发向西行驶了100公里到达B点,然后又改变方向向西偏北50°走了200公里到达C点,最后又改变方向,向东行驶了100公里到达D点.(1)作出向量,,(2)

9

范文3:平面向量【以文搜文】

    高三二轮专题复习:平面向量【高考要求】1、理解向量的概念,掌握向量的几何表示,了解共线向量的概念。2、掌握向量的加法和减法的运算法则及运算律。3、掌握实数与向量的积的运算法则及运算律,理解两个向量共线的充要条件。4、了解平面向量的基本定理,理解平面向量的坐标的概念,掌握平面向量的坐标运算。5、掌握平面向量的数量积及其几何意义,了解用平面向量的数量积可以处理有关长度、角度和垂直的问题,掌握向量垂直的条件。6、掌握线段的定比分点和中点坐标公式,并且能熟练运用;掌握平移公式。【热点分析】对本章内容的考查主要分以下三类:1、以选择、填空题型考查本章的基本概念和性质.此类题一般难度不大,用以解决有关长度、夹角、垂直、判断多边形形状等问题.2、以解答题考查圆锥曲线中的典型问题.此类题综合性比较强,难度大,以解析几何中的常规题为主.3、向量在空间中的应用(在B类教材中)。在空间坐标系下,通过向量的坐标的表示,运用计算的方法研究三维空间几何图形的性质.在复习过程中,抓住源于课本,高于课本的指导方针.本章考题大多数是课本的变式题,即源于课本.因此,掌握双基、精通课本是本章关键。分析近几年来的高考试题,有关平面向量部分突出考查了向量的基本运算。对于和解析几何相关的线段的定比分点和平移等交叉内容,作为学习解析几何的基本工具,在相关内容中会进行考查。本章的另一部分是解斜三角形,它是考查的重点。总而言之,平面向量这一章的学习应立足基础,强化运算,重视应用。考查的重点是基础知识和基本技能。【典型例题】例1. 已知

  =(2,1),
  =(-1,3),若存在向量
  使得:
  ·
  =4,
  ·
  =-9,试求向量
  的坐标、【解析】设
  =(x,y),则由
  ·
  =4可得:2x+y=4;又由
  ·
  =-9可得:-x+3y=-9于是有:
  
由(1)+2
  (2)得7y=-14,∴y=-2,将它代入(1)可得:x=3∴
  =(3,-2)、例2. 已知△ABC的顶点分别为A(2,1),B(3,2),C(-3,-1),BC边上的高为AD,求
  及点D的坐标。
【解析】设点D的坐标为(x,y)∵AD是边BC上的高,∴AD⊥BC,∴
  ⊥
又∵C、B、D三点共线,∴
  ∥
  =(x-2,y-1),
  =(-6,-3)
  =(x-3,y-2)∴
解方程组,得x=
  ,y=
∴点D的坐标为(
  ,
  ),
  的坐标为(-
  ,
  )例3. 设向量
  、
  满足:|
  |=|
  |=1,且
  +
  =(1,0),求
  ,
  、【解析】∵|
  |=|
  |=1,∴可设
  =(cosα,sinα),
  =(cosβ,sinβ)、∵
  +
  =(cosα+cosβ,sinα+sinβ)=(1,0),
由(1)得:cosα=1-cosβ……(3)由(2)得:sinα=-sinβ……(4)∴cosα=1-cosβ=
∴sinα=±
  ,sinβ=
  
  或
例4. 对于向量的集合A={
  =(x,y)|x2+y2≤1}中的任意两个向量
  、
  与两个非负实数α、β;求证:向量α
  +β
  的大小不超过α+β。【证明】设
  =(x1,y1),
  =(x2,y2)根据已知条件有:x21+y21≤1,x22+y22≤1又因为|α
  +β
  |=
=
其中x1x2+y1y2≤
  
  ≤1所以|α
  +β
  |≤
  =|α+β|=α+β例5. 已知A(0,a),B(0,b),(0<a<b=,在x轴的正半轴上求点C,使∠ACB最大,并求出其最大值。【解析】设C(x,0)(x>0)则
  =(-x,a),
  =(-x,b)则
  ·
  =x2+ab、cos∠ACB=
  =
令t=x2+ab故cos∠ACB=
  =
  即t=2ab时,cos∠ACB的最大值为
  ;当C的坐标为(
  ,0)时,∠ACB的最大值为arccos
  。例6. 已知
①求
  ;②当k为何实数时,k
  
  与
  平行, 平行时它们是同向还是反向?【解析】①
  = (1,0) + 3(2,1) = ( 7,3) , ∴
  =
  =
  .②k
  
  = k(1,0)-(2,1)=(k-2,-1).设k
  
  =λ(
  ),即(k-2,-1)= λ(7,3),∴
  
  .故k=
  时, 它们反向平行.例7. 是否存在4个平面向量,两两不共线,其中任何两个向量之和均与其余两个向量之和垂直?【解析】如图所示,在正△ABC中,O为其内心,P为圆周上一点,
满足
  ,
  ,
  ,
  两两不共线,有(
  +
  )·(
  +
  )=(
  +
  +
  +
  )·(
  +
  +
  )=(2
  +
  +
  )·(2
  +
  )=(2
  -
  )·(2
  +
  )= 4
  2-
  2=0有(
  +
  )与(
  +
  )垂直,同理可证其他情况,从而
  ,
  ,
  ,
  满足题意,故存在这样的4个平面向量。例8. 已知向量
  满足条件
  ,
  ,求证:
  是正三角形【解析】令O为坐标原点,可设
  ,即
①②
两式平方和为
  ,
  ,由此可知
  的最小正角为120°,即
  与
  的夹角为120°,同理可得
  与
  的夹角为120°,
  与
  的夹角为120°,这说明
  三点均匀分布在一个单位圆上,所以
  为正(等腰)三角形.例9. 求
  的最值【解析】原函数可变为
  ,所以只须求
  的最值即可,构造
  ,那么
  .故
  .例10. 三角形ABC中,A(5,-1)、B(-1,7)、C(1,2),求:(1)BC边上的中线AM的长;(2)∠CAB的平分线AD的长;(3)cosABC的值.【解析】 (1)点M的坐标为xM=
D点分
  的比为2.∴xD=
(3)∠ABC是
  与
  的夹角,而
  =(6,8),
  =(2,-5).
例11. 设函数f (x)=
  ,其中向量
  =(2cosx , 1),
  =(cosx,
  sin2x), x∈R.(1)若f(x)=1-
  且x∈[-
  ,
  ],求x;(2)若函数y=2sin2x的图象按向量
  =(m , n) (
  ﹤
  )平移后得到函数y=f(x)的图象,求实数m、n的值.【解析】 (1)依题设,f(x)=(2cosx,1)·(cosx,
  sin2x)=2cos2x+
  sin2x=1+2sin(2x+
  )由1+2sin(2x+
  )=1-
  ,得sin(2x+
  )=-
  .∵-
  ≤x≤
  , ∴-
  ≤2x+
  ≤
  , ∴2x+
  =-
  , 即x=-
  .(2)函数y=2sin2x的图象按向量
  =(m , n)平移后得到函数y=2sin2(x-m)+n的图象,即函数y=f(x)的图象.由(1)得f (x)=
  ∵
  <
  , ∴m=-
  ,n=1.例12. 设G、H分别为非等边三角形ABC的重心与外心,A(0,2),B(0,-2)且
  (λ∈R).(Ⅰ)求点C(x,y)的轨迹E的方程;(Ⅱ)过点(2,0)作直线L与曲线E交于点M、N两点,设
  ,是否存在这样的直线L,使四边形OMPN是矩形?若存在,求出直线的方程;若不存在,试说明理由.【解析】(I)由已知得
  , 又
  ,∴
∵CH=HA ∴
  即
(II)设直线L的方程为y=k(x-2),代入曲线E得(3k2+1)x2-12k2x+12(k2-1)=0设N (x1,y1),M (x2,y2),则x1 +x2=
  ,x1 x2=
  ,∴ 四边形OMPN是平行四边形.若四边形OMPN是矩形,则
∴x1 x2+y1 y2=0 ∴
  得
∴直线L为:
例13. 已知椭圆方程
  ,过B(-1,0)的直线l交椭圆于C、D两点,交直线x=-4于E点,B、E分
  的比为λ1、λ2. 求证:λ1+λ2=0【解析】设l的方程为y=k(x+1),代入椭圆方程整理得(4k2+1)x2+8k2x+4(k2-1)=0.设C(x1,y2),D(x2,y2),则x1+x2=-
  .由
  得
所以
  .同理,设E
  
  其中
  
  
  .例14. 已知点G是△ABC的重心,A(0, -1),B(0, 1),在x轴上有一点M,满足|
  |=|
  |,
  (
  ∈R). ⑴求点C的轨迹方程;⑵若斜率为k的直线l与点C的轨迹交于不同的两点P,Q,且满足|
  |=|
  |,试求k的取值范围.【解析】 ⑴设C(x, y),则G(
  ,
  ). ∵
  (
  ∈R),∴GM//AB,又M是x轴上一点,则M(
  , 0). 又|
  |=|
  |,∴
  ,整理得
  ,即为曲线C的方程.⑵①当k=0时,l和椭圆C有两不同交点P,Q,根据椭圆对称性有|
  |=|
  |.②当k≠0时,可设l的方程为y=kx+m,联立方程组
  消去y,整理得(1+3k2)x2+6kmx+3(m2-1)=0(*)∵直线l和椭圆C交于不同两点,∴△=(6km)2-4(1+3k2)×( m2-1)>0,即1+3k2-m2>0. (1)设P(x1, y1),Q(x2, y2),则x1, x2是方程(*)的两相异实根,∴x1+x2=-
则PQ的中点N(x0, y0)的坐标是x0=
  =-
  ,y0= k x0+m=
  ,即N(-
  ,
  ),又|
  |=|
  |,∴
  ⊥
  ,∴k·kAN=k·
  =-1,∴m=
  .将m=
  代入(1)式,得 1+3k2-(
  )2>0(k≠0),即k2<1,∴k∈(-1, 0)∪(0, 1).综合①②得,k的取值范围是(-1, 1).【模拟试题】1. 已知向量
  ( )A. 30° B. 60° C. 120° D. 150°2. 已知点M1(6,2)和M2(1,7),直线y=mx-7与线段M1M2的交点分有向线段M1M2的比为3:2,则m的值为 ( )A.
  B.
  C.
  D. 43. 已知向量
  =(2,0),向量
  =(2,2),向量
  =(
  ),则向量
  与向量
  的夹角的范围为 ( )A. [0,
  ] B. [
  ,
  ] C. [
  ,
  ] D. [
  ,
  ]4. 设坐标原点为O,抛物线y2=2x与过焦点的直线交于A,B两点,则
  ·
  =( )A.
  B.
  C. 3 D. -35. 已知向量
  ≠
  ,|
  |=1,对任意t∈R,恒有|
  -t
  |≥|
  -
  |,则( )A.
  ⊥
  B.
  ⊥(
  -
  )C.
  ⊥(
  -
  ) D. (
  +
  )⊥(
  -
  )6. P是△ABC所在平面上一点,若
  ,则P是△ABC的( )A. 外心 B. 内心 C. 重心 D. 垂心7. △ABC中,若a4+b4+c4=2c2(a2+b2),则∠C的度数是:A. 60° B. 45°或135° C. 120° D. 30°8. 已知向量a=(
  ),向量b=(
  ),则|2a-b|的最大值是9. 把函数y=2x2-4x+5的图像按向量a平移,得到y=2x2的图像,且a⊥b,c=(1,-1),b·c=4,则b=10. 在
  中,O为中线AM上一个动点,若AM=2,则
  的最小值是_____.11. 已知向量a=(sinθ,1),b=(1,cosθ),-<θ<.(Ⅰ)若a⊥b,求θ;(Ⅱ)求|a+b|的最大值.12. 如图,已知△ABC是边长为1的正三角形,M、N分别是边AB、AC上的点,线段MN经过△ABC的中心G,设DMGA=a(
  )
(1)试将△AGM、△AGN的面积(分别记为S1与S2)表示为a的函数(2)求y=
  的最大值与最小值13. 已知定点F(1,0),动点P在y轴上运动,过点P作PM交x轴于点M,并延长MP至点N,且
  .(1)求动点N的轨迹方程;(2)直线l与动点N的轨迹交于A、B两点,若
  且4
  ≤
  ≤
  ,求直线l的斜率的取值范围.14. 已知两点M(-1,0), N(1 , 0),且点P使
  ·
  ,
  ·
  ,
  ·
  成公差小于零的等差数列.(Ⅰ)点P 的轨迹是什么曲线?(Ⅱ)若点P坐标为(x0、y0),记θ为
  与
  的夹角,求tanθ.
【试题答案】1. C 提示:设
  ,则
  ,又
  ,所以
  ,得
  ,
  ,2. D 提示:设交点M(x,y),
  ,代入直线方程可得.3. D 提示:点C的轨迹是以(2,2)为圆心,
  为半径的圆.4. B 提示:设A(x1,y1),B(x2,y2),
  ·
  =x1x2+y1y2=
  ,将直线方程y=k(x-0.5)代入抛物线方程消去x可得y1y2.5. C 提示:由|
  -t
  |≥|
  -
  |得|
  -t
  |2≥|
  -
  |2,展开并整理得
  ,得
  ,即
  .6. D 提示:由
  .即
  , 则
所以P为
  的垂心.7. B 提示:由a4+b4+c4=2c2(a2+b2)得:a4+b4+c4-2a2c2-2b2c2+2a2b2=2a2b2,即(a2+b2-c2)2=2a2b2a2+b2-c2=
  ab,
8. 49. (3, -1)10. -2 提示:
  ,当
  时取等号.即
  的最小值为:-2.11. 解:(Ⅰ)若a⊥b,则sinθ+cosθ=0,由此得 tanθ=-1(-<θ<=,所以 θ=-;(Ⅱ)由a=(sinθ,1),b=(1,cosθ)得|a+b|=
==,当sin(θ+)=1时,|a+b|取得最大值,即当θ=时,|a+b|最大值为+1.12. 解:(1)因为G是边长为1的正三角形ABC的中心,
所以 AG=
  ,DMAG=
  ,由正弦定理
  ,得
则S1=
  GM·GA·sina=
  同理可求得S2=
(2)y=
  =
=72(3+cot2a)因为
  ,所以当a=
  或a=
  时,y取得最大值ymax=240当a=
  时,y取得最小值ymin=21613. 略解 (1)y2=4x (x>0) (2)先证明l与x轴不垂直,再设l的方程为y=kx+b(k≠0),A(x1,y1),B(x2,y2).联立直线与抛物线方程,得ky2- 4y+4b=0,由
  ,得
  .又
  故
  而
解得直线l的斜率的取值范围是
14. 略解(Ⅰ)设点P(x , y),分别计算出
  ·
  ,
  ·
  ,
  ·
  ,
  由题意,可得点P的轨迹方程是故点P 的轨迹是以原点为圆心、
  为半径的右半圆.(Ⅱ) 由(Ⅰ)知,
  ,可得cosθ=
  ,又x0
  ,∴
  即
  ,于是sinθ=
  =
  =
  =
  ,
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范文4:平面向量的夹角【以文搜文】

高一数学《平面向量的夹角》学案 班级 姓名

一、教学目标 1、知识与技能

(1)掌握两个向量夹角的定义及二向量垂直的概念,准确判定两向量的夹角 (3)培养学生作图、判断、求解的基本能力。 二、教学重点、难点

1、教学重点:;判定两个向量的夹角这也是易错点; 2、教学难点:平面向量基本定理的应用; 三、教学过程

向量夹角的概念

对于两个非零向量、,作 , ,则 ( )叫做向量a、b的夹角.记为 如向量a、b同向,则?= ; 向量a、b反向,

则?

= ;如果、的夹角是90

,则与垂直,记为⊥

a

b

问题1、向量夹角的范围 . 问题2、下列各图中,两向量a、b的夹角是?吗?

O

a

O

a

?a?,b??,?a?,b??,?a?,b??,?a?,b?

?,

变式练习1.在Rt△ABC中,∠ABC=90°,∠ACB=60°,则AC 与CB的夹角?

2. 在等边△ABC中,E为BC中点,则向量AB与向量的夹角是 ,向量AE与向 量的夹角是

A

C

B

BC

作业1. 已知,一组基底且?m??2?n??a,2?m???n??b,请用基底,表示?m?,?

n.

2. 已知?a??b?2,且a与b的夹角为600

,求a+b与a的夹角;a-b与a的夹角。

3. 已知等腰三角ABC中,AB=AC,点D是BC边的中点,∠BAC=800

①求向量???AB?与向量???DA?

的夹角;

②向量???DA?

与向量???BC?是什么关系?说明理由。

4. 在等边三角形ABC中,设向量???AB?与???

BC?的夹角为?,则??___;

1

范文5:平面向量考向【以文搜文】

考向1 平面向量的线性运算及共线问题

1.向量的线性运算

2.向量共线的判定定理和性质定理

(1)判定定理:a是一个非零向量,若存在一个实数λ使得b=λa,则向量b与a共线. (2)性质定理:若向量b与非零向量a共线,则存在唯一一个实数λ,使得b=λa. (3)A,B,C是平面上三点,且A与B不重合,P是平面内任意一点,若点C在直→=P→→(如图所示).

线AB上,则存在实数λ,使得PCA+λAB

3.向量共线定理的应用 (1)证明点共线; (2)证明两直线平行;

(3)已知向量共线求字母的值(或范围).

(1)(2014·福建,10)设M为平行四边形ABCD对角线的交点,O为平行四边形

1

→→→→ABCD所在平面内任意一点,则OA+OB+OC+OD等于( )

→B.2OM→C.3OM→D.4OM→ A.OM

→+AD→=(2)(2013·四川,12)如图,在平行四边形ABCD中,对角线AC与BD交于点O,AB

→,则λ=________. λAO

(3)(2014·江苏南京二模,10)如图,经过△OAB的重心G的直线与OA,OB分别交于点P,→=mOA→,OQ→=nOB→,m,n∈R,则11________. Q,设OPnm

考向1 平面向量的线性运算及共线问题

1.向量的线性运算

2

2.向量共线的判定定理和性质定理

(1)判定定理:a是一个非零向量,若存在一个实数λ使得b=λa,则向量b与a共线.

(2)性质定理:若向量b与非零向量a共线,则存在唯一一个实数λ,使得b=λa.

(3)A,B,C是平面上三点,且A与B不重合,P是平面内任意一点,若点C在直

→=P→→(如图所示). 线AB上,则存在实数λ,使得PCA+λAB

3.向量共线定理的应用

(1)证明点共线;

(2)证明两直线平行;

(3)已知向量共线求字母的值(或范围).

(1)(2014·福建,10)设M为平行四边形ABCD对角线的交点,O为平行四边形

→+OB→+OC→+OD→等于( ) ABCD所在平面内任意一点,则OA

→ B.2OM→ A.OM

→D

4

OM→ C.3OM

→+AD→=(2)(2013·四川,12)如图,在平行四边形ABCD中,对角线AC与BD交于点O,AB

→,则λ=________. λAO

(3)(2014·江苏南京二模,10)如图,经过△OAB的重心G的直线与OA,OB分别交于点P,→=mOA→,OQ→=nOB→,m,n∈R,则11________. Q,设OPnm

3

考向2 平面向量基本定理及其应用

1.平面向量基本定理

(1)平面向量基本定理

如果e1,e2是同一平面内的两个不共线向量,那么对于这一平面内的任意向量a,有且只有一对实数λ1,λ2,使a=λ1e1+λ2e2,其中e1,e2是一组基底.

(2)平面向量基本定理的实质

平面向量基本定理反映了利用已知向量表示未知向量,实质就是利用平行四边形法则或三角形法则进行向量的加减运算或数乘运算.

2.平面向量基本定理的应用

(1)证明向量共面,如果有且只有一对实数λ1,λ2,使a=λ1e1+λ2e2,那么a,e1,e2共面.

(2)根据平面向量基本定理求字母的值(或范围).

1(1)(2013·江苏,10)设D,E分别是△ABC的边AB,BC上的点,AD=2

AB

2→=λAB→+λAC→(λ,λBE=3BC.若DE1212为实数),则λ1+λ2的值为________.

(2)(2015·安徽阜阳一模,14)在梯形ABCD中,已知AB∥CD,AB=2CD,M,N分别为CD,

→=λAM→+μAN→,则λ+μ=________. BC的中点.若AB

用平面向量基本定理解决问题的一般思路

(1)先选择一组基底,并运用平面向量基本定理将条件和结论表示成该基底的线性组合,再进行向量的运算.

(2)在基底未给出的情况下,合理地选取基底会给解题带来方便,另外,要熟练运用线段中点的向量表达式.

→=(2014·山东济南质检,14)如图所示,在△ABC中,点M是AB的中点,且AN

1→→=a,→=b,→=________. NC,BN与CM相交于点E,设ABAC用基底a,b表示向量AE2

考向3 平面向量坐标运算的应用

1.平面向量的坐标运算

(1)若a=(x1,y1),b=(x2,y2)(b≠0),则a±b=(x1±x2,y1±y2).

→=(x-x,y-y). (2)若A(x1,y1),B(x2,y2),则AB2121

(3)若a=(x,y),λ∈R,则λa=(λx,λy).

4

2.向量平行的坐标表示

(1)如果a=(x1,y1),b=(x2,y2),则a∥b的充要条件为x1y2-x2y1=0.

(2)三点A(x1,y1),B(x2,y2),C(x3,y3)共线的充要条件为(x2-x1)(y3-y1)-(x3-x1)(y2-y1)=0.

x1y1a∥b的充要条件不能表示成xyx2,y2有可能等于0.判断三点是否共线,先求每22

两点对应的向量,然后再按两向量共线进行判定.

3.平面向量中的重要结论

→+GB→+GC→=0 G为△ABC的重心?GA

?x1+x2+x3y1+y2+y3?,其中A(x1,y1),B(x2,y2),C(x3,y3). ?G 33??

(1)(2014·北京,3)已知向量a=(2,4),b=(-1,1),则2a-b=( )

A.(5,7) B.(5,9)

C.(3,7) D.(3,9)

(2)(2013·陕西,2)已知向量a=(1,m),b=(m,2),若a∥b,则实数m等于( )

A.-2 B.2

C22 D.0

(3)(2013·北京,13)向量a,b,c在正方形网格中的位置如图所示,若c=λa+μb(λ,μ∈R),则λ=________. μ

向量坐标运算问题的一般思路

(1)向量问题坐标化:向量的坐标运算,使得向量的线性运算都可用坐标来进行,实现了向量运算完全代数化,将数与形紧密结合起来,通过建立平面直角坐标系,使几何问题转化为数量运算.

(2)巧借方程思想求坐标:向量的坐标运算主要是利用加、减、数乘运算法则进行,若已知有向线段两端点的坐标,则应先求出向量的坐标,解题过程中要注意方程思想的运用.

5

(3)妙用待定系数法求系数:利用坐标运算求向量的基底表示,一般先求出基底向量和被表示向量的坐标,再用待定系数法求出线性系数.

(2012·重庆,6)设x,y∈R,向量a=(x,1),b=(1,y),c=(2,-4),且a⊥c,

b∥c,则|a+b|=( ) A.5 B.10 C.5 D.10

考向4 平面向量的垂直与夹角

1.平面向量数量积的有关概念

→=a,→=b,(1)向量的夹角:已知两个非零向量a和b,记OAOB则∠AOB=θ(0°≤θ≤180°)

叫作向量a与b的夹角.

(2)数量积的定义:已知两个非零向量a和b,它们的夹角为θ,则数量|a||b|cos θ叫作a与b的数量积,记作a·b,即a·b=|a||b|cos θ.规定:0·a=0.

(3)数量积的几何意义:数量积a·b等于a的模|a|与b在a的方向上的投影|b|cos θ的乘积.

两个向量的数量积是一个数量,而不是向量,它的值为两个向量的模与两向量夹角的余弦值的乘积,其符号由夹角的余弦值确定.

2.平面向量数量积的性质

设a,b都是非零向量,e是与b方向相同的单位向量,θ是a与e的夹角,则

(1)e·a=a·e=|a|cosθ.

(2)a⊥b?a2b=0.

(3)当a与b同向时,a2b=|a||b|;当a与b反向时,a·b=-|a||b|.

特别地,a·a=|a|2或|a|=a2a.

a·b(4)cos θ=|a||b|(5)|a·b|≤|a||b|.

3.平面向量数量积的坐标表示

设a=(x1,y1),b=(x2,y2),a,b的夹角为θ,则

(1)a·b=x1x2+y1y2.

(2)|a|=x1+y1.若A(x1,y1),B(x2,y2),则|AB|=(x1-x2)+(y1-y2).

6

x1x2+y1y2(3)cos θ=x1+y1x+y22

(4)a⊥b?a·b=0?x1x2+y1y2=0.

x1y2-x2y1=0与x1x2+y1y2=0不同,前者是两向量a=(x1,y1),b=(x2,y2)共线的充要条件,后者是它们垂直的充要条件.

(1)(2014·课标Ⅱ,4)设向量a,b满足|a+b|

=10,|a-b|=6,则a·b=( )

A.1 B.2 C.3 D.5

π(2)(2014·山东,7)已知向量a=(1,3),b=(3,m),若向量a,b的夹角为6m

=( )

A.23 B.3 C.0 D.-3

平面向量数量积的应用

a·b(1)根据平面向量数量积的性质:若a,b为非零向量,cos θ=|a||b|(夹角公式),a⊥b?a2b

=0等,可知平面向量的数量积可以用来解决有关角度、垂直的问题.

(2)数量积大于0说明不共线的两向量的夹角为锐角,数量积等于0说明不共线的两向量的夹角为直角,数量积小于0且两向量不共线时两向量的夹角为钝角.

π(1)(2013·江西,12)e1,e2为单位向量,且e1,e2的夹角为3,若a=e1+3e2,b

=2e1,则向量a在b方向上的射影为________.

→与AC→的夹角为120°,→|=3,→|=2.若AP→=λAB→+AC→,(2)(2013·山东,15)已知向量AB且|AB|AC

→⊥BC→,则实数λ的值为________. 且AP

考向5 平面向量的模及应用

1.求平面向量的模的公式

(1)a2=a·a=|a|2或|a|=a2a=a;

(2)|a±b|=(a±b)=a±2a2b+b;

(3)若a=(x,y),则|a|x+y.

2.重要结论

7

(1)||a|-|b||≤|a±b|≤|a|+|b|.

(2)|a+b|2+|a-b|2=2(|a|2+|b|2).

(1)(2013·湖南,8)已知a,b是单位向量,a·b=0,若向量c满足|c-a-b|=1,

则|c|的最大值为( ) A.2-1 B.2 C.2+1 D.2+2

→=(1,-3),|OA→|=|OB→|,OA→2OB→=0,则|AB→|=________. (2)(2014·湖北,12)若向量OA

1.求向量的模的方法

(1)公式法:利用|a|a2a及(a±b)2=|a|2±2a2b+|b|2,把向量的模的运算转化为数量积运算.

(2)几何法:利用向量的几何意义,即利用向量加减法的平行四边形法则或三角形法则作出向量,再利用余弦定理等方法求解.

2.求向量模的最值(范围)的方法

(1)代数法:把所求的模表示成某个变量的函数,再用求最值的方法求解.

(2)几何法(数形结合法):弄清所求的模表示的几何意义,结合动点表示的图形求解.

(2011·天津,14)已知直角梯形ABCD中,AD∥BC,∠ADC=90°,AD=2,

→→|的最小值为________. BC=1,P是腰DC上的动点,则|PA+3PB

8

范文6:平面向量共线【以文搜文】

§2.3.3 平面向量的坐标运算

班 级 姓 名

【学习目标】

1. 会用坐标表示平面向量的加减与数乘运算;能用两端点的坐标,求所构造向量的坐标;

2. 体会向量是处理几何问题的工具. 培养细心、耐心的学习习惯,提高分析问题的能力。

【预习案】 ??????????????(一)知识链接:复习:⑴向量e1,e2e2?0是共线的两个向量,则e1,e2之间的关系可表示为 .

????????????⑵向量e1,e2是同一平面内两个不共线的向量,a为这个平面内任一向量,则向量a可用e1,e2表示

为 。

(二)自主学习:(预习教材P96—P97) 平面向量的坐标运算 ???????问题1:已知a??x1,y1?,b??x2,y2?,能得出a?b,a?b,?a的坐标吗? ??

1、已知:a?(x1,y1),b?(x2,x2),?为一实数 ??

a?b=__________________________ _。a?b=___________ 。

这就是说,两个向量和(差)的坐标分别等于__________________ ____。 ????

?a=_______________这就是说,实数与向量的积的坐标等于:________________________。

???问题2:如图,已知A?x1,y1?,B?x2,y2?,则怎样用坐标表示向量AB呢?

2、若已知A(x1,y1),B(x2,y2),

则AB=_____________=___________________

即一个向量的坐标等于此向量的有向线段

的________________________。

(三)典型例题 ??????1、已知a?b??2,?8?,a?b???8,16?,求a和b.

2、已知平行四边形ABCD的顶点A??1,?2?,B?3,?1?,C?5,6?,试求:

(1)顶点D的坐标.

(2)若AC与BD的交点为O,试求点O的坐标.

1 ????

3、已知△ABC中,A(7,8),B(3,5),C(4,3),M、N是AB、AC的中点,D是BC的中点,MN与AD交于点F,求DF→.

【训练案】1. 若向量?a??x?2,3?与向量?b??1,y?2?相等,则( )

A.x?1,y?3 B.x?3,y?1 C.x?1,y??5 D.x?5,y??1

2. 已知???AB???x,y?,点B的坐标为??2,1?,则???OA?的坐标为( )

A.?x?2,y?1? B.?x?2,y?1? C.??2?x , 1?y? D.?x?2,y?1?

3. 已知?a??3,?1?,?b???1,2?,则?3?a?2?b等于( )

A.?7,1? B.??7,?1? C.??7 , 1? D.?7,?1?

4. 设点A??1,2?,B?2,3?,C?3,?1?且???AD??2???AB??3???BC?,求D点的坐标。

5、已知点A(-1,-5)和向量=(2,3),若AB→=3,则点B的坐标为( )

A.(6,9) B.(5,4) C.(7,14) D.(9,24)

2

2.3.4平面向量共线的坐标表示

一、学习目标:

1.会推导并熟记两向量共线时坐标表示的充要条件;

2.能利用两向量共线的坐标表示解决有关综合问题。

3.通过学习向量共线的坐标表示,使学生认识事物之间的相互联系,培养学生辨证思维能力.

二、学习内容

??1.思考:共线向量的条件是当且仅当有一个实数λ使得b=λa,那么这个条件是否也能用坐标来表

示呢?

?????设a=(x1, y1), b=(x2, y2)( b?) 其中b?a

??由a=λb ,得___________________,即__________________________,消去λ后得:

??__________________________________.这就是说,当且仅当___________________时,向量a与b共线.

????例1 已知a?(4,2),b?(6,y),且a//b,求y.

例2: 已知A(?1,?1),B(1,3),C(2,5),求证A、B、C三点共线.

例3:设点P是线段P1P2上的一点, P1、P2的坐标分别是(x1,y1),(x2,y2).

(1) 当点P是线段P1P2的中点时,求点P的坐标;

(2) 当点P是线段P1P2的一个三等分点时,求点P的坐标.

3 2.典型例题

三、反思总结

1.平面向量共线充要条件的两种表达形式是什么?

2.如何用平面向量共线的充要条件的坐标形式证明三点共线和两直线平行?

3.判断两直线平行与两向量平行有什么异同?

四、当堂检测

??????1.已知AB=a+5b,BC=-2a+8b,CD=3(a-b),则( )

A. A、B、D三点共线

C. B、C、D三点共线 B .A、B、C三点共线 D. A、C、D三点共线

??2.若向量a=(-1,x)与b=(-x, 2)共线且方向相同,则x为________

五课后练习与提高

????1.若a=(2,3),b=(4,-1+y),且a∥b,则y=( )

A.6 B.5 C.7 D.8

2.若A(x,-1),B(1,3),C(2,5)三点共线,则x的值为( )

A.-3 B.-1 C.1 D.3

3.若=i+2j, DC=(3-x)i+(4-y)j(其中i、j的方向分别与x、y轴正方向相同且为单位向量). 与共线,则x、y的值可能分别为( )

A.1,2 B.2,2 C.3,2 D.2,4

????4.已知a=(4,2),b=(6,y),且a∥b,则y= 平面向量共线 .

??????5.已知a=(1,2),b=(x,1),若a+2b与2a-b平行,则x的值为

6.已知A(-1, -1), B(1,3), C(1,5) ,D(2,7) ,向量与平行吗?直线AB与平行于直线CD吗?

4

范文7:平面向量的减法【以文搜文】

教学主题

教学目标: 向量的减法

1、掌握向量减法概念,理解两个向量的减法就是转化为加法来进行,掌握相反向量;

2、能熟练地用三角形法则和平行四边形法则作出两向量的差向量;

3、了解向量方程,并会用几何法解向量方程。

教学设计:

任意角三角函数的定义→三角函数的定义域→简单应用。

教学方法:

引导启发式,讲练结合。

教 学 过 程

①复习向量的概念;

②向量的加法。

新课

上一节,我们一起学习了向量的加法,并熟悉了求解向量和的向量加法的平行四边形法则与三角形法则,并进行了简单应用.

这一节,我们来继续学习向量的减法.

我们先给出向量减法的定义.

1.向量减法的定义

向量a加上b的相反向量,叫做a与b的差,即a-b=a+(-b). 求两个向量差的运算,叫向量的减法.

说明:(1)与a长度相等、方向相反的向量,叫做a的相反向量;

(2)零向量的相反向量仍是零向量;

(3)任一向量和它相反向量的和是零向量.

从向量减法的定义中,我们可以体会到向量减法与向量加法的内在联系.

2.向量减法的三角形法则

以平面内的一点作为起点作a,b,则两向量终点的连线段,并指向a终点的向量表示a-b.

说明:向量减法可以转化为向量加法,如图b与a-b

首尾相接,根据向量加法的三角形法则有b+(a-b)=

即a-b=.

下面我们通过例题来熟悉向量减法的三角形法则的应用

.

例1、如图,已知向量a,b,с,d,求作向量a-

b,с-d.

分析:根据向量减法的三角形法则,需要选点平移作出两个同起点的向量. 作法:如图,在平面内任取一点O,作=a,=b,=с,=d. 作BA,DC,则BA=a-b,DC=с-d.

[例2]判断题

(1)若非零向量a与b的方向相同或相反,则a+b

的方向

必与a、b之一的方向相同.

(2)三角形ABC中,必有AB+BC+CA=0.

(3)若++=0,则A、B、C三点是一个三角形的三顶点.

(4)|a+b|≥|a-b|.

分析:(1)a与b方向相同,则a+b的方向与a和b方向都相同;若a与b方向相反,则有可能a与b互为相反向量,此时a+b=0的方向不确定,说与a、b之一方向相同不妥.

(2)由向量加法法则+=,与是互为相反向量,所以有上述结论.

(3)因为当A、B、C三点共线时也有++=0,而此时构不成三角形.

(4)当a与b不共线时,|a+b|与|a-b|分别表示以a和b为邻边的平行四边形的两条对角线的长,其大小不定.

当a、b为非零向量共线时,同向则有|a+b|>|a-b|,异向则有|a+b|<|a-b|;

当a、b中有零向量时,|a+b|=|a-b|.

综上所述,只有(2)正确.

小结

通过本节学习,要求大家在理解向量减法定义的基础上,掌握向量减法的三角形法则,并能加以适当的应用.

向量减法的三角形法则的式子内容是:两个向量相减,则表示两个向量起点的字母必须相同(否则无法相减),这样两个向量的差向量是以减向量的终点的字母为起点,以被减向量的终点的字母为终点.

只要你理解法则内容,那么解起向量加减法的题来就会更加得心应手了,尤其遇到向量的式子运算题时,一般不用画图就可迅速求解,如下面例题:

1、化简-+-. 解:原式=+-=-=0

2、化简+++. 解:原式=(OA+BO)+(OC+CO)=(OA-OB)+0=BA.

范文8:平面向量的减法【以文搜文】

第11-12课时

教学题目:平面向量的减法 教学目标:

1、理解并掌握向量的减法运算并理解其几何意义;

2、通过教学,养成学生规范的作图习惯,培养学生数形结合的思想方法. 教学内容:

1、向量的减法运算,及其几何意义;

2、应用向量加法的三角形法则和平行四边形法则作两个向量的和向量. 教学重点:向量减法的三角形法则. 教学难点:理解向量减法的定义. 教学方法:讲授法、练习法.

教学过程:

a -b

一、导课

a

A

与数的运算相类似,可以将向量a 与向量b 的负向量的和

定义为向量a 与向量b 的差.即a -b =a +-b .

b

()

设a =OA ,b =OB , 则

即:

O

观察图可以得到:起点相同的两个向量a 、b ,其差a -b 仍然是一个向量,其起点是

减向量b 的终点,终点是被减向量a 的终点.

向量是否有减法?如何理解向量的减法?我们知道,减法是加法的逆运算,类比实数的减法运算,能否把向量的减法同样作为向量加法的逆运算引入? 二、师生协作探究新知 (一)、平面向量的减法的定义:

OA -OB =OA +(-OB )= OA +BO =BO +OA =BA .

OA -OB =BA .

a -b =a +-b 即减去一个向量相当于加上这个向量的负向量?向量a 与向量b 的

()

负向量的和定义为向量a 与向量b 的差.

(二)、差向量:

起点相同的两个向量a 、b ,其差a -b 仍然是一个向量,叫做向量a 、b 的差向量.

(三)差向量的方向:

差向量的起点是减向量的终点,差向量的终点是被减向量的终点.

(四)平面向量减法的法则:共起点,连终点,方向指向被减向量?同起点,尾尾连,后向前?平移同起点,方向指被减.

1、同起点:两个向量a 、b 要求差,则两个向量a 、b 必须有相同的起点;

2、尾尾连:将同起点的两个向量a 、b 终点相连接;

3、后向前:差向量的方向是:由减向量的起点指向被减向量的起点. (五)平面向量减法的特点:

1、有共同起点的两个向量、b ,其差仍是一个向量,差向量的起点是减向量的终点,

差向量的终点是被减向量的终点(共起点,连终点,方向指向被减向量?同起点,尾尾连,后向前?平移同起点,方向指被减).

2、减去一个向量等于加上它的负向量. 三、例题讲解

例1、如右所示,已知a 、b ,在平面内任取一点O , →→

作OA =a ,OB =b , 则BA =a -b .

a -b

A

a

b

即: a -b 可以表示为从向量b 的终点指向向量的终点

O

的向量.

例2、如下图所示:

如图(1)所示,已知向量a 、b 、c 、d ,求作向量a -b 、c -d .

B

A

D

C

(1)

(2)

O

作法:如图(2)在平面内任取一点O ,作OA =a ,OB =b ,OC =c ,OD =d ,

作BA ,则BA =a -b ,DC =c -d .

四、学生练习

C

1、如右图所示,平行四边形ABCD 中,AB =a ,AD =b ,用,A

b 表示向量AC 、DB .

B

图4

解:由作向量和的平行四边形法则,得AC =a +b ;由作向量差的方法知: DB =AB -AD =a -b .

五、课堂小结

(一)、向量减法的概念; (二)、向量加法的几何意义; (三)、向量减法的法则. 六、作业布置

课本P 32:练习7.1.3第1题、第2题.

范文9:平面向量的夹角【以文搜文】

高一数学《平面向量的夹角》学案 班级 姓名

一、教学目标 1、知识与技能

(1)掌握两个向量夹角的定义及二向量垂直的概念,准确判定两向量的夹角 (3)培养学生作图、判断、求解的基本能力。 二、教学重点、难点

1、教学重点:;判定两个向量的夹角这也是易错点; 2、教学难点:平面向量基本定理的应用; 三、教学过程

向量夹角的概念

对于两个非零向量、,作 , ,则 ( )叫做向量a、b的夹角.记为 如向量a、b同向,则?= ; 向量a、b反向,

则?

= ;如果、的夹角是90

,则与垂直,记为⊥

a

b

问题1、向量夹角的范围 . 问题2、下列各图中,两向量a、b的夹角是?吗?

O

a

O

a

?a?,b??,?a?,b??,?a?,b??,?a?,b?

?,

变式练习1.在Rt△ABC中,∠ABC=90°,∠ACB=60°,则AC 与CB的夹角?

2. 在等边△ABC中,E为BC中点,则向量AB与向量的夹角是 ,向量AE与向 量的夹角是

A

C

B

BC

作业1. 已知,一组基底且?m??2?n??a,2?m???n??b,请用基底,表示?m?,?

n.

2. 已知?a??b?2,且a与b的夹角为600

,求a+b与a的夹角;a-b与a的夹角。

3. 已知等腰三角ABC中,AB=AC,点D是BC边的中点,∠BAC=800

①求向量???AB?与向量???DA?

的夹角;

②向量???DA?

与向量???BC?是什么关系?说明理由。

4. 在等边三角形ABC中,设向量???AB?与???

BC?的夹角为?,则??___;

1

范文10:平面向量”的总结【以文搜文】

    向量的考察在高考中是重点,一般情况下,会以一道小题与结合其他知识考一道答题的形式出现,题目不会太难,也就下面几种题型里面选择一种来考察,同学们务必好好研究一下!争取在这块内容上不丢分!

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