例析直线与平面、平面与平面垂直的判定与性质

范文1:直线平面垂直,平面平面垂直性质教案【以文搜文】

第三课时 直线与平面垂直、平面与平面垂直的性质

(一)教学目标1.知识与技能

(1)使学生掌握直线与平面垂直,平面与平面垂直的性质定理;(2)能运用性质定理解决一些简单问题;

(3)了解直线与平面、平面与平面垂直的判定定理和性质定理间的相互关系.2.过程与方法 (1)让学生在观察物体模型的基础上,进行操作确认,获得对性质定理正确性的认识;3.情感、态度与价值观

通过“直观感知、操作确认、推理证明”,培养学生空间概念、空间想象能力以及逻辑推理能力.(二)教学重点、难点 两个性质定理的证明.(三)教学方法

例1 把直角三角板ABC的直角边BC放置桌面,另一条直角边AC与桌面所在的平面?垂直,a是?内一条直线,若斜边AB与a垂直,则BC是否与a垂直?

a?AC?

AC????

【解析】??a?AB?

a???

ACAB?A??

?

a?平面ABC?

??a?BC

BC?平面ABC?

【评析】若BC与?垂直,同理可得AB与?也垂直,其实质是三垂线定理及逆定理,证明过程体现了一种重要的数学转化思想方法:“线线垂直→线面垂直→线线垂直” .

例2 求证:如果两个平面都垂直于第三个平面,则它们的交线垂直于第三个平面.已知?⊥r,?⊥r,?∩?= l,求证:l⊥r.

【分析】根据直线和平面垂直的判定定理可在r内构造两相交直线分别与平面?、?垂直.或由面面垂直的性质易在?、?内作出平面r的垂线,再设法证明l与其平行即可.[来源:学.科.网]

【证明】法一:如图,设?∩r = a ,?∩r = b,在r内任取一点P.过点P在r内作直线m⊥a,n⊥b.

∵?⊥r,?⊥r,

∴m⊥a,n⊥?(面面垂直的性质). 又?∩?= l,

∴l⊥m,l⊥n.又m∩n = P,m,n?r ∴l⊥r.

法二:如图,设?∩r = a,?∩r = b,在?内作m⊥a,在?内作n⊥b. ∵?⊥r,?⊥r, ∴m⊥r,n⊥r.

∴m∥n,又n??,m??,

∴m∥?,又?∩?= l,m?

?,[来源:Zxxk.Com] ∴m∥l, 又m⊥r,∴l⊥r.

【评析】充分利用面面垂直的性质构造线面垂直是解决本题的关键.证法一充分利用面面垂直、线面垂直、线线垂直相互转化;证法二涉及垂直关系与平行关系之间的转化.此题是线线、面面垂直转化的典型题,通过一题多解,对沟通知识和方法,开拓解题思路是有益的.

教学反思:通过本节课学习使学生明白线面垂直是核心,线线垂直,线面垂直可以相互转化。

范文2:直线平面平面平面垂直判定性质【以文搜文】

直线与平面、平面与平面垂直的判定与性质及应用、求角

一、知识要点

1.直线和平面垂直:如果直线l与平面?内的任意一条直线都垂直,就说直线l与平面?记做l??,l叫做平面?的垂线,平面?叫做直线l的垂面,

它们的交点P 叫垂足.如右图所示. 2.直线与平面、平面与平面垂直的判定定理与性质定理一览表

3.直线与平面所成的角:如图直线PA和平面?相交但不垂直,PA叫做平面?的斜线, PA和平面的交点A 叫斜足;PO??,AO叫做斜线PA在平面?上的射影。

平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角,叫这条直线和平面所成的角。 当直线垂直于平面,则它们所成的角是直角;直线和平面平行或在平面内,则它

们所成的角是0角.因此直线和平面所成角的范围是。

4.求直线和平面所成的角步骤:①一般先定斜足;②再作垂线找垂足;③斜足垂足连线得射影——找到了角;

然后通过解直角三角形求角;写结论。 可以简述为“作?证?求?结论”。

o

5.二面角的定义:从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角,

这条直线叫二面角的棱,这两个半平面叫二面角的面。

右图中的二面角可记作:二面角?-AB-? 或 ?-l-?或P - AB - Q 。

6。二面角的平面角:如图在二面角?-l-?的l棱上任取一点O ,以点O为垂足,在半平面?和?内 分别作垂直于棱l的射线OA,OB,则射线OA和OB构成的?AOB

(1(2)二面角平面角的做法:

例1.如图,在底面是矩形的四棱锥P?ABCD中,PA⊥平面ABCD,PA?AB?2,BC?4,

E是PD的中点.

(1)求证:平面PDC⊥平面PAD;(2)求二面角E?AC?D的余弦值.

例2.如右图,把边长为1的正方形ABDC沿对角线BC折起得到三棱锥D?ABC,O是BC边上一点. (1) 求DO的取值范围; (2) 当DO取最小值时,证明:BC?平面DAO; (3) 若DA?1,求二面角A?CD?B的余弦值.

A

C

例3.如图,在四棱锥P?ABCD中,底面ABCD是?DAB?60且边长为a的菱形,侧面PAD是等边三角形,且平面PAD垂直于底面ABCD.

(1)若G为AD的中点,求证:BG?平面PAD;(2)求证:AD?PB;(3)求二面角A?BC?P的大小.

例4.已知直角梯形ABCD

的上底BCBC//AD,BC?

是边长为2的等边三角形。

1

?PCD平面PDC?平面ABCD,CD?AD,AD,

2

(1)证明:AB?PB;(2)求二面角P?AB?D的大小;(3)求三棱锥A?PBD的体积。

例5.如图,菱形ABCD的边长为4,?BAD?60,AC?BD?O.将菱形ABCD沿对角线AC折起,得到三棱锥B?ACD,点M是棱BC

的中点,DM?(1)求证:OM//平面ABD; (2)求证:平面DOM?平面ABC;(3)求二面角D?AB?O的余弦值.

?

例6.在如图的多面体中,EF⊥平面AEB,AE?EB,AD//EF//BC,BC?2AD?4,AE?BE?2,

(Ⅰ)求证:AB//平面DEG;(Ⅱ)求直线BD与平面BCFE所成角的正切值; G是BC的中点.

(Ⅲ)求证:BD?EG.

A

D

F

BC

例7.如图,在四棱锥P?ABCD中,底面ABCD为平行四边形,?ADC?45,AD?AC?1,O为AC中

点,PO?平面ABCD,PO?2,M为PD中点. (Ⅰ)证明:PB//平面ACM; (Ⅱ)证明:AD?平面PAC; (Ⅲ)求直线AM与平面ABCD所成角的正切值.

例8.如图,在四棱锥P?ABCD中,底面ABCD是正方形,侧棱PD?底面ABCD,PD?DC,E是PC的中点作EF?PB交PB于点F.

(1)证明:PA//平面EDB.(2)证明:PB?平面EFD.(3)求二面角C?PB?D的大小.

1.如图,在多面体ABCDE中,AE⊥面ABC,BD∥AE,且AC=AB=BC=BD=2,AE=1,F为CD中点. (1)求证:EF⊥面BCD; (2)求面CDE与面ABDE所成的二面角的余弦值.

2.在底面为平行四边形的四棱锥P?ABCD中,AB?AC,PA?平面ABCD,且PA?AB,点E是PD的中点。 ⑴求证:AC?PB; ⑵求证:PB∥平面AEC; ⑶求二面角E?AC?B的大小。

C

3.如图在四棱锥P?ABCD中,底面ABCD是边长为a的正方形,侧面PAD?底面ABCD,且

B

PA?PD?

AD,设E、F分别为PC、BD的中点. (Ⅰ) 求证:EF//平面PAD;(Ⅱ)求证:面PAB?平面PDC;(Ⅲ)求二面角B?PD?C的正切值.

AB

17.如图,四边形ABCD为正方形,PD?平面ABCD,PD?QA,QA?AB?(1)证明:平面PQC?平面DCQ;(2)求二面角Q?CP?D的余弦值.

1

PD. 2

B

D P

A Q

18.如图,在四棱锥S?ABCD中,底面ABCD是正方形,SA?底面ABCD,SA?AB,点M是SD的中点,AN?SC且交SC于点N. (1) 求证:平面SAC?平面AMN; (2)求二面角D?AC?M的余弦值.

19.已知四棱锥P?ABCD的底面是直角梯形,AB//CD,AD?AB,AD?AB?CD?1,

2

1

PD?面

ABCD,PD?E是PC的中点

(1)证明:BE//面PAD;(2)求二面角E?BD?C的大小.

例8.如图所示的多面体中,ABCD是菱形,BDEF是矩形,ED?平面ABCD,?BAD??

3

,AD?2.(1) 求证:平面FCB∥平面AED;

(2) 若二面角A?EF?C为直二面角,求直线BC与平面AEF所成的角?的正弦值.

7.ABCD—A1B1C1D1是正四棱柱,侧棱长为1,底面边长为2,E是棱BC的中点。(1)求三棱锥D1—DBC的体积;(2)证明BD1∥平面C1DE;(3)求面C1DE与面CDE所成二面角的正切值。

数学立体几何综合复习训练题

1、 如图,直三棱柱ABC?A1B1C1中,AB?AC?

1

AA1,∠BAC?90?,D为棱BB1的中点。(1)求异面直2

线C1D与A1C所成的角;(2)求证:平面A1DC?平面ADC。

C1

B1

D

C

A

B

2、 在棱长a为的正方体ABCD?A1B1C1D1中,E、F分别棱AB和BC的中点。(1)求二面角D-EF-B1的大小;

(2)求点B到平面B1EF的距离;(3)求A1C1到平面B1EF的距离。

C1

A1

A

E

B

C

6、四棱锥P-ABCD的底面ABCD是矩形,侧面PAD是正三角形,且侧面PAD⊥底面ABCD,E为侧棱PD的中点。(1)求证:AE⊥平面PCD;(2)若AD=AB,试求二面角A-PC-D的正切值;(3)当⊥AC?

AD

为何值时,PBAB

A

B

C

范文3:§2.3.3直线平面平面平面垂直性质学案【以文搜文】

【学习目标】1.掌握直线与平面垂直,平面与平面垂直的性质定理;

2.能运用性质定理解决一些简单问题;

3.了解直线与平面、平面与平面垂直的判定定理和性质定理间的相互联系.

【学法指导】通过“直观感知、操作确认,推理证明”,经历直线与平面垂直,平面与平面垂直的性质

定理的形成过程,进而加深对定理的理解与掌握,提高空间想象能力以及逻辑推理能力.

一.知识导学

1.直线与平面垂直的性质定理:垂直于同一个平面的两条直线.

2.平面与平面垂直的性质定理:

两个平面垂直,则一个平面内垂直于 的直线与另一个平面 .

用符号表示为:α⊥β,α∩β=l,a?α,a⊥l? .

3.两个重要结论:

(1)如果两个平面互相垂直,那么经过第一个平面内的一点垂直于第二个平面的直线

(2)已知平面α⊥平面β,a?α,a⊥β,那么a与α的位置关系).

二.探究与发现

【问题情境】直线与平面垂直及平面与平面垂直的判定定理,解决了直线与平面垂直及平面与平面垂

直的条件问题;反之,在直线与平面垂直及平面与平面垂直的条件下,能得到哪些结论?

本节就来研究这个问题.

【探究点一】线面垂直的性质定理

问题1 若一条直线与一个平面垂直,则可得到什么结论?若两条直线与同一个平面垂直呢?

问题2 已知直线a⊥α、b⊥α,那么直线a、b一定平行吗?我们能否证明这一事实的正确性呢?

例1.把直角三角板ABC的直角边BC放置桌面,另一条直角边AC与桌面所在的平面α垂直,a是

α内一条直线,若斜边AB与a垂直,则BC是否与a垂直?

跟踪训练1 如图,α∩β=l,PA⊥α,PB⊥β,垂足分别为A、B,a?α,

a⊥AB.

求证:a∥l.

孩儿立志出乡关,学不成名誓不还。

【探究点二】平面与平面垂直的性质定理

问题 黑板所在平面与地面所在平面垂直,你能否在黑板上画一条直线与地面垂直?

例2.设α⊥β,α∩β=CD,AB?α,AB⊥CD,AB∩CD=B,

求证:AB⊥β.

跟踪训练2 如图,已知平面α,β,α⊥β,直线a满足a⊥β,a?α,试判断直线a与平面α的位置

关系.

例3.设平面α⊥平面β,点P在平面α内,过点P作平面β的垂线a,试判断直线a与平面α的位

置关系.

跟踪训练3 如图所示,P是四边形ABCD所在平面外的一点,ABCD是∠DAB=60°且边长为a的

菱形.侧面PAD为正三角形,其所在平面垂直于底面ABCD.G为AD边的中点.

求证:(1)BG⊥平面PAD;

(2)AD⊥PB.

孩儿立志出乡关,学不成名誓不还。

三.巩固训练

1.下列命题:

①垂直于同一直线的两条直线平行;

②垂直于同一直线的两个平面平行;

③垂直于同一平面的两条直线平行;

④垂直于同一平面的两平面平行.

其中正确的个数是 ( )

A.1 B.2 C.3 D.4

2.平面α∩平面β=l,平面γ⊥α,γ⊥β,则 ( )

A.l∥γ B.l?γ C.l与γ斜交 D.l⊥γ

3. 如图所示,平面ABC⊥平面ABD,∠ACB=90°,CA=CB,△ABD是正三

角形,O为AB中点,则图中直角三角形的个数为________.

4. 在斜三棱柱ABC-A1B1C1中,∠BAC=90°,BC1⊥AC,则点C1在底面ABC上的射影H必在___________.

四.课堂小结:

1.直线与平面垂直的性质定理是平行关系与垂直关系的完美结合,利用垂直关系可判定平行,反过

来由平行关系也可判定垂直,即两条平行直线中的一条垂直于一个平面,则另一条直线也垂直于这个平面.

2.面面垂直的性质定理是判断线面垂直的又一重要定理.

3.判定线面垂直的方法主要有以下五种:

①线面垂直的定义;

②线面垂直的判定定理;

③面面垂直的性质定理;

a∥b????b⊥α; ④如果两条平行线中的一条垂直于一个平面,那么另一条也垂直于同一平面,?a⊥α?

α∥β????a⊥β. ⑤如果一条直线垂直于两个平行平面中的一个平面,那么它也垂直于另一个平面,?a⊥α?

孩儿立志出乡关,学不成名誓不还。

范文4:§2.3.3直线平面垂直性质§2.3.4平面平面垂直性质【以文搜文】

§2.3.3 直线与平面垂直的性质 §2.3.4 平面与平面垂直的性质

一、课前准备

复习1:①什么是二面角?什么是二面角的平面角?②当两个平面所成的二面角____________时,这两个平面互相垂直.

复习2:两个平面垂直的判定(1)方法一: 方法二:________________.

复习3:①垂直于同一直线的两条直线的位置关系是____________;②垂直于同一平面的两个平面的位置关系是___________. 二、新课导学

探究一:直线与平面垂直的性质定理

问题1:已知直线a?平面?,直线b?平面?,求证:a∥b.

新知1:直线与平面垂直的性质定理 垂直于同一个平面的两条直线平行.

反思:这个定理揭示了什么?

探究二:平面与平面垂直的性质

问题2:黑板所在平面与地面所在平面垂直,在黑板上是否存在直线与地面垂直?若存在,怎样画线?

新知2:平面与平面垂直的性质定理 两个平面垂直,则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直.

反思:这个定理实现了什么关系的转化?

例1 判断下列命题是否正确,并说明理由.

⑴两条平行线中的一条垂直于某条直线,则另一条也垂直于这条直线; ⑵两条平行线中的一条垂直于某个平面,则另一条也垂直于这个平面; ⑶两个平行平面中的一个垂直于某个平面,则另一个也垂直与这个平面; ⑷垂直于同一条直线的两条直线互相平行; ⑸垂直于同一条直线的两个平面互相平行; ⑹垂直于同一个平面的两个平面互相平行.

例2. 如图,在三棱锥中,PA?PB,AB?BC,若M是PC的中点, 试确定AB上点N的位置,使得MN?AB.

例3. 如图,平面??平面?,平面??平面?,???l,求证:l??.

例4. 如图,四棱锥P?

ABCD的底面是个矩形,AB?2,BC?PAB是等边三角形,且侧面PAB垂直于底面ABCD. ⑴证明:侧面PAB?侧面PBC;

⑵求侧棱PC与底面ABCD所成的角.

线线垂直

面面垂直 面面平行

范文5:2.3.3直线平面垂直性质2.3.4平面平面垂直性质【以文搜文】

2.3.3直线与平面垂直的性质、平面与平面垂直的性质

学习目标:

1 理解直线与平面垂直的性质定理,平面与平面垂直的性质定理,并能利用性质定理解决有关问题。

2 了解直线与平面、平面与平面垂直的判定定理和性质定理间的相互联系

1、阅读课本,完成下面填空

直线与平面垂直的性质定理:垂直于同一个平面的两条直线_______,

符号表示:__________________

平面与平面垂直的性质定理:两个平面垂直,则一个平面内垂直于______的直线与另一个平面_____

符号表示:______________________________________________________

2.若直线a⊥直线b,且a⊥平面α,则有( )

A.b∥α B.b?α C.b⊥α D.b∥α或b?α

3.两个平面互相垂直,一个平面内的一条直线与另一个平面( )

A.垂直 B.平行 C.平行或相交 D.平行或相交或直线在另一个平面内

4.若直线l⊥平面α,直线m?平面β,有下列四个命题:

①α∥β?l⊥m ②α⊥β?l∥m ③l∥m?α⊥β ④l⊥m?α∥β

其中正确的命题的序号是( )

A.①② B.③④ C.②④ D.①③

5.如图,?ADEF的边AF垂直于平面ABCD,AF=2,CD=3,则CE=________.

6.圆O的半径为4,PO垂直圆O所在的平面,且PO=3,那么点P到圆上各点的

距离是________.

7.已知,△ABC所在平面外一点V,VB⊥平面ABC,平面VAB⊥平面VAC.求证:AC⊥BA.

8 如图,平面PAB⊥平面ABC,平面PAC⊥平面ABC,AE⊥平面PBC,E为垂足.

(1)求证:PA⊥平面ABC;

(2)当E为△PBC的垂心时,求证:△ABC是直角三角形.

9.如图所示,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD为矩形,PA⊥平面ABCD,点E在线段PC上,PC⊥平面BDE.

(1)证明:BD⊥平面PAC;

(2)若PA=1,AD=2,求二面角B-PC-A的正切值.

10.如下图(左)所示,在边长为1的等边三角形ABC中,D,E分别是

AB,AC边上的点,AD=AE,F是BC的中点,AF与DE交于点G,将△ABF沿AF折起,得到如下图(右)所示的三棱锥ABCF,其中BC=2. 2

(1)证明:DE∥平面BCF;

(2)证明CF⊥平面ABF.

范文6:线面,平面平面垂直性质【以文搜文】

范文7:直线平面垂直性质【以文搜文】

郫县一中犀浦校区“三元六杯”导学案

学习内容: 直线与平面垂直的性质

学习目标

(1)培养学生的几何直观能力和知识的应用能力,使他们在直观感知的基础上进一步学会证明.

(2)掌握直线和平面垂直的性质定理和推论的内容、推导和简单应用。

(3)掌握等价转化思想在解决问题中的运用.

学习过程

活动元一:“心动入境”

看一看

想一想

若一条直线与一个平面垂直,则可得到什么结论?若两条直线与同一个平面垂直呢?

活动元二:“灵动探究”

试一试

最后归纳得出:

垂直于同一个平面的两条直线平行。

练一练

1.下列命题中错误的是( )

A、

B、

C、 若一直线垂直于一平面,则此直线必垂直于这个平面上的所有直线。 若一个平面通过另一个平面的一条垂线,则这两个平面互相垂直。 若一直线垂直于一个平面的一条垂线,则此直线必平行于这个平面

D、若平面内的一条直线和这个平面的一条斜线的射影垂直,则也和这条直线垂直。

2.对于直线m,n和平面α,β,能得出α⊥β的一个条件是( )①m⊥

n,m//α

郫县一中犀浦校区高一数学组 总2页,第1页

郫县一中犀浦校区“三元六杯”导学案

,n//β②m⊥n,α?β=m,n?α③m//n,n⊥β,m?α④m//n,m⊥α,n⊥β.

3:a,b,c表示直线,M表示平面,则a//b的充分条件是( )A、a⊥c且b⊥c

B、a//M且b//M C、a⊥M且b⊥M D、a,b与c所在的角相等

说一说

通过本节课你收获了什么?

郫县一中犀浦校区高一数学组 总2页,第2页

范文8:直线平面垂直【以文搜文】

课题:直线与平面垂直

【学习目标】

1.掌握直线与直线、直线与平面垂直的定义以及直线与平面垂直的判定定理,提高空间想象能力。 2.小组合作、探究质疑,总结应用线线垂直、线面垂直的方法规律。 3.激情投入,高效学习,培养严谨的逻辑思维品质。

的直线;③若直线l不垂直于平面α,则α内也可以有无数条直线与l垂直;④若平面α内有一条直线与直线l不垂直,则直线l与平面α不垂直.

2.判断对错

(1)一条直线垂直于一个平面,这条直线垂直于这个平面内的所有直线( )

(2

)如果一条直线垂直于一个平面内的三角形的两边,这条直线垂直于这个平面( ) (3)如果一条直线垂直于一个平面内的梯形的两边,这条直线垂直于这个平面( ) (4)如果一条直线垂直于一个平面内的圆的两条直径,这条直线垂直于这个平面( )

【学习重难点】

直线与平面垂直的判定定理.

【使用说明及学法指导】

1.先精读一遍教材必修二P47--P49思考上方,用红色笔进行勾画;再针对预习自学二次阅读并回答;

2.若预习完可对合作探究部分认真审题,做不完的正课再做,对于选作部分BC层可以不做; 3.找出自己的疑惑和需要讨论的问题准备课上讨论质疑;

4.必须记住的内容:线线垂直概念,点到平面的距离,线面垂直的概念和判定。

【我的疑惑】

【课堂探究 课中案】

探究一:线面垂直的判定

例1:如图所示,在三棱柱ABCA1B1C1中,侧棱AA1⊥底面ABC,AB=AC=1,AA1=2,∠B1A1C1=90°,D为BB1的中点.求证:AD⊥平面A1DC1.

【知识链接】

1. 直线与平面平行的判定定理与性质定理。 2. 平面与平面平行的判定定理与性质定理。

【自主学习 课前案】

1.两条直线互相垂直的定义:

如果两条直线 或 后相交于一点,并且 为 ,则称这两条直线相互垂直。 2.直线和平面垂直的定义:

如果一条直线(AB)和一个平面(α) ,并且和这个平面内过交点(O)的 直线都 ,我们就说这条直线和这个平面互相垂直,这条 叫做平面的垂线,这个平面叫做 ,交点叫做 。

3.点到平面的距离:

垂线上 一点到 间的线段,叫做这个点到这个平面的 。 垂线段的长度叫做 。 如果一条直线垂直于一个平面,那么他就和平面内的 直线垂直。 4.直线与平面垂直的判定定理:

自然语言:如果一条直线与平面内的 垂直,则这条直线与这个平面垂直。 符号语言:

图形语言:

变式训练1:如图,已知在平面?内有?ABCD,点O是它的对角线的交点,点P在?外,且PA=PC,PB=PD. 求

证:PO

??

.

【预习自测】

1. 下列命题中,正确的序号是________.

☆挑☆战☆自☆我☆点☆点☆落☆实☆

例2: 如图,正方体A1B1C1D1ABCD中,EF与异面直线AC、A1D都垂直相交.求证:EF∥BD1.

①若直线a∥平面α,直线a⊥b,则b⊥α; ②若直线a?平面α,b?α,且a⊥b,则a⊥α; ③若直线a平行于平面α内的两条直线,则a∥α; ④若直线a垂直于平面α内的两条直线,则a⊥α. A.0

变式训练2:如图,已知平面α∩平面β=l,EA⊥α,垂足为A,EB⊥β,垂足为B,直线a?β,a⊥AB.求证:a∥l.

1.直线与平面垂直的判定方法: (1)利用定义;

(2)利用判定定理,其关键是在平面内找两条相交直线. 2.对于线面垂直的性质定理(推论2)的理解:

(1)直线与平面垂直的性质定理(推论2)给出了判定两条直线平行的另一种方法.

(2)定理揭示了空间中“平行”与“垂直”关系的内在联系,提供了“垂直”与“平行”关系转化的依据.

B.1 C.2

D.3

4.如果一条直线垂直于一个平面内的下列各种情况,能保证该直线与平面垂直的是( ) ①三角形的两边;②梯形的两边;③圆的两条直径;④正六边形的两条边. A.①③

B.② C.②④ D.①②④

5.若a,b表示直线,α表示平面,下列命题中正确的有________个. ①a⊥α,b∥α?a⊥b; ②a⊥α,a⊥b?b∥α; ③a∥α,a⊥b?b⊥α; ④a⊥α,b⊥α?a∥b.

【课堂小结】

【达标训练】

1.一条直线和三角形的两边同时垂直,则这条直线和三角形的第三边的位置关系是( ) A.平行

B.垂直 C.相交不垂直 D.不确定

2.如图所示,如果MC⊥菱形ABCD所在平面,那么MA与BD的位置关系是( )

A.平行 B.垂直相交C.垂直但不相交 D.相交但不垂直

MC=C,所以BD⊥平面AMC.又MA?平面AMC,所以MA⊥BD.显然直线MA与直线BD不共面,

☆挑☆战☆自☆我☆点☆点☆落☆实☆

范文9:直线平面垂直【以文搜文】

第三节 垂直关系

一、直线与平面垂直

1.几何条件

若一直线垂直于平面内任意相交两直线,则此直线必垂直于这个平面;反之,若直线垂直平面,则直线垂直平面内的任意直线。如图7-24所示,直线KL垂直于△ABC平面内的相交两直线AD、CE,则直线KL必垂直于△ABC平面,直线KL称作△ABC的垂线或法线

2.投影特点

若直线垂直于平面,必垂直于平面内的投影面平行线。根据直角投影定理,垂线的正面投影垂直于平面内正平线的正面投影;垂线的水平投影垂直于平面内水平线的水平投影。例如,在图7-25中,△ABC的垂线KL的正面投影k′1′必垂直于△ABC内正平线CE的正面投影c′e′(即k′l′⊥c′e′);KL的水平投影KL必垂直于△ABC内水平线AD的水平投影ad(即kl⊥ad)。

图7-24 直线与平面垂直的几何条件 图7-25 直线垂直平面的投影特点

若直线垂直于投影面垂直面,则直线必平行于该平面所垂直的投影面,在该投影面上直线的投影垂直于平面的积聚性投影。例如,在图7-26中,直线AB与垂直于H面的矩形CDEF相互垂直,则AB必为水平线,且ab⊥cdef。

3.基本作图方法

在解决直线与平面垂直问题时,常用如下两个基本作图方法:

(1)过已知点作一直线垂直已知平面。

分析:图7-27.a给出了点A及平行二直线(CD、EF)。过A点只能作一条直线与已知平面垂直。具体作图如下(图7-27.b):

图7-26 直线与投影面垂直面相互垂直的

投 影特点 图7-27 包含点作直线垂直平面(方法一) ①过C点在平面内作正平线CM和水平线CN。

②过a′作a′b′垂直于c′m′,过a作ab垂直于cn。由投影ab和a′b′所确定的直线AB即为所求的平面的垂直线。

如果需要求作点A到平面的距离,须先求出所作垂线与平面的交点(即垂足),然后用三角形求实长法求出点A与垂足之间线段实长即可(图中从略)。 当给出的平面△DEF为铅垂面(图7-28)时,则过A点所作垂直于铅垂面的直线AB必定是水平线,它的水平投影垂直于铅垂面的水平投影(即ab⊥def),而它的正面投影平行于X轴(a′b′∥OX)。因此,作图时可直接画出AB两投影,不必在平面内再作辅助线。

上述问题也可用变更投影面法作出,如过A点作直线AF垂直△CDE(图7-29.a),可按图7-29.b中步骤作图,请读者对照图形分析作图过程。

图7-28 包含点作直线垂直铅垂面 图7-29 包含点作直线垂直平面(方法二)

(2)过已知点A作平面垂直已知直线BC(图7-30.a)。过一个点只能作一下平面垂直于已知直线,具体步骤如下(图7-30.b):

①过A点作正平线AD,使AD的正面投影a′b′⊥b′c′。

②过A点再作水平线AE,使AE的水平投影ae⊥bc。AD、AE所确定的平面即为过A点垂直于直线BC的平面。

图7-31示出了采用变更投影面法作图的详细步骤,读者可对照图形分析作图过程。

图7-30 包含点作平面垂直直线(方法一) 图7-31 包含点作平面垂直直线(方法二)

二、平面与平面垂直

两平面垂直的几何条件是:若一直线垂直于一平面,则包含这条直线的一切平

面都垂直于该平面。由此可知,直线垂直平面是平面与平面垂直的必要条件。如图7-32所示,由于直线AK垂直P面,则包含AK的Q、R平面都垂直P面。如在Q平面上取一点B向P面作垂线BE,则BE一定在Q平面内。

若相互垂直的两平面都同时垂直某一投影面,则两平面的有积聚性的同面投影必互相垂直,如图7-33所示。

图7-32 两平面垂直的几何条件 图7-33 两投影面垂直面相互垂直

【例10】 过点A作一平面垂直已知平面△DEF(图7-34)。

作图:根据上述几何条件,按下列步骤作图:

(1)先过A点作△DEF的垂线AB,为此使a′b′垂直△DEF内正平线DM的正面投影(即a′b′⊥d′m′),使ab垂直△DEF内水平线DN的水平投影(即ab⊥dn)。

(2)再过A点任作一直线AC,两相交直线AC、AB所确定的平面即为所求△DEF的垂直面之一。

【例11】 试作图检查图7-35.a所示两平面在空间是否相互垂直。

作图:假设过△ABC的顶点A作△EFG的垂线AK,若该垂线在△ABC平面上,则两平面互相垂直,反之则两平面不垂直。具体作图方法如图7-35.b所示。

(1)过△EFG的顶点E在△EFG内作正平线EM和水平线EN。

(2)过a′和a分别作a′k′⊥e′m′,ak⊥en。

从图中明显看出AK不在△ABC平面内,故两平面不垂直。

图7-34 包含点作平面垂直已知平面

图7-35 检查两平面是否垂直

范文10:直线平面垂直【以文搜文】

一、定义

1. 如果一条直线和一个平面内的任何一条直线都垂直,则这条直线和这个平面垂直.

2. 过一点有且只有一条直线和一个平面垂直,过一点有且只有一个平面和一条直线垂直.

二、判定方法

1. 用定义

2. 判定定理

??l⊥b?a//b???l⊥α(1) a?α (2)???l⊥α a⊥α??b?α?a b=P??l⊥a直线与平面垂直

?

α β=a?α//β??(3)l?α??l⊥β (4)??l⊥α l⊥β??l⊥a??α⊥β

三、性质 (1)

(2)

a⊥α???a//b b⊥α?a⊥α???a⊥b b?α?

例题:

1.如图,正方体ABCD—A1B1C1D1中,点 P 在侧面BCC1B1及其边界上运动,

并且总是保持AP⊥BD1,则动

点P的轨迹是( )

(A)线段BC1

(B)线段B1C

(C)BB1中点与CC1中点连成的线段

(D)BC中点与B1C1中点连成的线段

2.如图,AB为⊙O的直径,C为⊙O上一点,AD⊥面ABC,AE⊥BD于E,AF⊥CD于F. 求证:BD⊥平面AEF.

3.求证:四面体若有两

组对棱互相垂直,则第

三组对棱也互相垂直.

此四面体任一顶点在它对面上的射影均为该面三角形的垂心.类似的结论还有:

①若三条侧棱相等,则顶点在底面上的射影为底面三角形的外心;

②若顶点到底面三角形三条边的距离相等,则顶点在底面上的射影为底面三角形的内心或旁心;

③若侧棱与底面所成的角相等,则顶点在底面上的射影为底面三角形的外心;

④若侧面与底面所成的角相等,则顶点在底面上的射影为底面三角形的内心.

4.已知矩形ABCD,过A作SA

⊥平面AC,再过A作AE⊥SB

于E,过E作EF⊥SC于F.

(1)求证:AF⊥SC;

(2)若平面AEF交SD于G,求证:AG⊥SD.

解题设想:线线垂直→线面垂直→线线垂直